Study on permeability mechanism of rough fractured coal considering slippage effect
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摘要:
为探究煤岩裂隙表面粗糙度对煤岩渗透特性的影响，选取贵州省六盘水地区煤样，首先开展了扫描电镜和低温氮气吸附试验联合表征煤岩孔裂隙结构，通过Hurst理论初步分析煤岩表面粗糙度；在此基础上，利用分形理论进一步定量表征煤岩裂隙表面相对粗糙度，建立综合考虑应力、滑脱效应及裂隙表面相对粗糙度的煤岩表观渗透率理论模型，并探讨了裂隙表面相对粗糙度对气体滑脱系数的影响，通过煤岩渗透率的实验室测试结果进行验证和分析。研究结果表明：① 通过扫描电镜试验观测到孔裂隙结构表面存在粗糙微元，同时低温氮气吸附试验结果表明，煤岩孔裂隙结构发育，存在分形特征且非均质性较强。② 煤岩裂隙表面相对粗糙度随粗糙微元分形维数的增大而增大。当粗糙微元分形维数恒定时，裂隙表面相对粗糙度随粗糙微元的尺度比例ε的增大而减小，煤岩裂隙开度b越小，裂隙表面相对粗糙度对裂隙开度越敏感。③ 随着裂隙表面相对粗糙度的增大，滑脱效应增强。④ 在初始滑脱系数相同时，随着孔隙压力的增大，煤岩表观渗透率逐步降低而趋向平缓。滑脱效应对煤岩渗透起促进作用，滑脱系数越大，其作用效应越强。
Abstract:In order to explore the influence of the surface roughness of coal fractures on the permeability characteristics of coal, coal samples from Liupanshui area of Guizhou Province were selected, and the pore structure of coal was characterized by scanning electron microscopy and low-temperature nitrogen adsorption test, and the surface roughness of coal was preliminarily analyzed by Hurst theory. On this basis, the fractal theory is used to further quantitatively characterize the relative roughness of the fracture surface of coal, and a theoretical model of apparent permeability of coal considering the stress, slippage effect and relative roughness of the fracture surface is established, and the influence of the relative roughness of the fracture surface on the gas slip factor is discussed, which is verified and analyzed by the laboratory test results of the permeability of coal. The results show that: ① SEM test showed that there were rough microelements on the surface of the pore fracture structure, and the results of low-temperature nitrogen adsorption test showed that the pore fracture structure of coal was developed, with fractal characteristics and strong heterogeneity. ② The relative roughness of the surface of coal fractures increases with the increase of the fractal dimension of rough microelements. When the fractal dimension of the rough microelement is constant, the relative roughness of the fracture surface decreases with the increase of the scale proportion ε of the rough microelement, and the smaller the fracture opening b of the coal, the more sensitive the relative roughness of the fracture surface is to the fracture opening. ③ With the increase of the relative roughness of the fracture surface, the slippage effect increases. ④ When the initial slip coefficient is the same, with the increase of pore pressure, the apparent permeability of coal gradually decreases and tends to be flat. The slippage effect promotes the infiltration of coal, and the larger the slippage coefficient, the stronger the effect.
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Keywords:
- Liupanshui coal mine /
- adsorption model /
- roughness /
- slippage effect /
- permeability model
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0. 引 言
国家经济的飞速发展与能源的大量消耗密不可分。我国“相对富煤、少油、缺气”的资源特征，决定了今后相当长一段时间煤炭资源仍将成为我国重要的能源支持[1]。煤岩是一种复杂的多孔介质，主要是由基质和裂隙组成[2]。煤岩的孔隙结构决定煤层气吸附、解吸规律，而裂隙是煤层气的有效运移通道，决定着煤层气的运移和产出[3]。然而，煤储层裂隙微观结构复杂，往往表现出非均质性，严重影响煤储层裂隙的渗流特性。与此同时，煤基质将产生膨胀、收缩变形，导致了裂隙变形，而煤岩渗透特性受煤岩裂隙表面粗糙度、应力压缩及滑脱效应等影响，会有不同程度的变化[4]。因此，研究在多种因素综合作用下煤层气在储层的运移规律，对提高煤层气采收率有重要的指导意义与参考价值。
将物性试验与分形特征结合是目前对煤岩孔裂隙结构进行定量分析的一种重要方法[5]。XIE等[6]在对岩石力学问题的研究中将分形维数与岩石力学相关理论相结合，提出分形－岩石力学理论，完善了之前采用常规方法进行研究的缺点；与此同时，王世芳等[7]基于分形理论和达西定律，提出了牛顿流体在粗糙裂缝型多孔介质中渗透率的分形模型，揭示了影响粗糙裂缝型多孔介质渗透率的物理机理；基于此，赵明凯等[8]通过分形理论及流体力学基本原理定量表征煤岩裂隙表面粗糙微元及裂隙开度的分布规律，提出不可忽视裂隙粗糙度对渗流的影响；在粗糙微通道的孔隙形态和内壁粗糙微元分形研究基础上，王登科等[9]推导出粗糙微纳米孔隙中的瓦斯气体传输方程。
理论上，气测和液测煤岩绝对渗透率一致，然而实际分析测试过程中普遍存在着气测煤岩和液测煤岩绝对渗透率不同的问题，其主要原因是气体存在滑脱效应，且随着煤层绝对渗透率降低，这种气体滑脱效应变得更加显著[10]。ZHU等[11]采用含瓦斯煤热‒流‒固耦合三轴伺服渗流装置对煤样应变及气相渗透率进行了观测，建议在对渗透率与有效应力特性进行研究时充分考虑气体滑脱效应；ZHOU等[12]分析了克林肯伯格系数与裂隙宽度之间的关系，并建立了具有有效应力和气体吸附效应的裂隙宽度理论模型；魏建平等[13]通过实验分析与理论推导，建立了考虑气体动力黏度，压缩因子与滑脱效应的煤层瓦斯渗透率方法。因此，在煤层气的抽采过程中，煤岩裂隙表面粗糙度和滑脱效应都会对煤岩的渗透率产生一定的影响。
综上所述，相关学者分别基于气体压力及其引起的吸附变形对煤岩渗透特性演化机制进行了诸多研究，但考虑煤岩裂隙表面相对粗糙度与滑脱效应等多因素共同影响的煤岩表观渗透率规律研究鲜有报道。鉴于此，笔者选取贵州六盘水矿区煤样，进行扫描电镜和氮气吸附试验，分析了几个矿区的煤岩孔裂隙特征及渗流规律。并基于分形理论定量表征煤岩裂隙表面相对粗糙度，建立了考虑裂隙表面相对粗糙度、吸附变形及滑脱效应的表观渗透率模型。基于渗透率测试结果，通过匹配试验结果与理论结果，进一步探讨并量化分析煤岩裂隙表面粗糙程度及滑脱系数与渗透率的响应机理。研究实际储层中的煤岩渗流规律，旨在为煤层气抽采和煤层增透过程中提供一定的理论支撑。
1. 试验样品采集与制备
本试验煤样分别取自贵州六盘水的金佳煤矿、马依煤矿、东李煤矿17号、湘桥煤矿、打牛厂煤矿、月亮田煤矿。对现场采集的新鲜煤样进行封存，并运送至试验室进行进一步研究，取用0.18～0.25 mm（60～80目）的干燥煤样依据标准GB/T212—2008《煤的工业分析方法》对煤样的水分（Mad）、灰分（Ad）、挥发分（Vdaf）的成分进行测定，工业分析测试结果见表1。
表 1 煤样工业分析测试结果Table 1. Industrial analysis of coal samples煤样编号 采样位置 Mad/% Ad/% Vdaf/% 煤阶 JJ 金佳煤矿 2.26 27.50 11.87 低挥发分烟煤 MY 马依煤矿 1.35 17.44 12.29 低挥发分烟煤 DL 东李煤矿17号 1.27 3.79 20.64 中挥发分烟煤 XQ 湘桥煤矿 1.05 6.97 29.44 中高挥发分烟煤 DNC 打牛厂煤矿 2.44 9.06 30.88 中高挥发分烟煤 YLT 月亮田煤矿 1.32 15.97 32.98 中高挥发分烟煤 由于煤的挥发分反映了煤的变质情况，煤样按照由高至低的变质程度进行排序。由表1可知，JJ煤样变质程度最高，MY次之，YLT煤矿变质程度最低，均为变质程度较高的烟煤。
2. 煤岩孔裂隙结构特征
煤岩是由基质和裂隙组成的双孔隙、非均质性较强的多孔介质。为探究煤岩非均质性对煤岩渗流的影响，本节先通过扫描电镜试验探究裂隙表面形 态特征，再利用低温氮气吸附试验结果结合分形模 型和Hurst理论，观测表征煤岩的裂隙粗糙程度和孔 裂隙分布特征。
2.1 煤岩孔裂隙结构特征
2.1.1 扫描电镜试验
将煤样制成长×宽×高为1 cm×1 cm×1 cm的煤块，为保证效果，将煤样进行喷金处理。采用德国ZEISS Gemini SEM 300型自带能谱扫描电镜，保持煤样表面水平，进行扫描电镜（SEM）试验，得到煤岩表面平整度和裂隙结构在不同放大倍数时的成像结果，并在此基础上对煤岩微观裂隙结构的分布规律进行了分析。为探究煤岩裂隙表面特征，笔者选取煤样放大500倍和2 000倍的SEM图像进行分析（如图1所示）。由图1可知，SEM图像直观展示出不同地区煤岩裂隙形态特征，JJ、MY、DL、XQ、DNC、YLT煤样裂隙均较为发育，裂缝宽度在1～10 μm，裂隙表面非均质性较强。观察不同地区煤岩裂隙表面形态特征可知，JJ煤样（如图1a）表面凹凸不平，极大地增加了表面积，裂隙比较发育。MY煤样（如图1b）表面有一定量的煤屑存在，矿物颗粒之间充填比较完全，胶结程度较好，裂隙形状较发育。DL煤样（如图1c）表面有少量碎屑分布，在不同方向上裂隙发育良好。XQ煤样（如图1d）表面分散有少量碎屑，裂隙较宽，明显看到其裂隙表面不光滑。DNC煤样（如图1e）表面不平坦，裂隙发育较宽。YLT煤样（如图1f）表面孔裂隙发育，裂隙宽度是最宽的，明显看出其裂隙表面粗糙。通过对SEM的煤岩裂隙形态特征的观察，裂隙表面粗糙度也许会影响煤层气流动速率，进而导致煤岩渗透率降低。
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图 1 基于SEM的煤岩裂隙形态特征Figure 1. Morphological characteristics of coal fractures based on SEM2.1.2 低温氮气吸附试验
前一小节通过SEM试验发现煤岩表面具有明显的非均质性，于是该小节利用低温氮气吸附试验分析煤岩孔隙微观结构特征。低温氮气吸附试验采用美国Micromeritics公司ASAP2020型比表面微孔分析仪进行分析。利用低温氮气吸附试验分析煤岩孔隙微观结构特征。煤岩低温氮气吸附试验结果如图2和表2所示，当压力较大时，低温氮气试验中会发生毛细凝聚，造成凝聚与蒸发过程中的相对压力不同而形成滞后环。滞后环形状不一，反映了孔的类型及孔径分布。根据最新的IUPAC分类方案[14]，将滞后环分为H1、H2、H3、H4和H5这5种类型。如图2所示，试验表明6种类型的孔均产生脱附回线。从滞后环的形状来看，煤样的吸附‒脱附等温线均为H2(b)&H3复合型，MY、DL、DNC煤样的滞后环较小，表明其孔隙率较低，存在楔形半封闭孔隙。
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图 2 煤样低温氮气吸附试验等温线Figure 2. Low temperature nitrogen adsorption isotherm of coal samples表 2 低温氮气吸附法测定孔隙结构参数Table 2. Analysis results of low- temperature nitrogen adsorption isotherms煤样 BET比表面积/
(m2·g‒1)总孔容/
(cm3·g‒1)平均孔径/
nmJJ 1.374 0.003 001 8.737 MY 1.205 0.004 770 15.830 DL 0.786 0.003 082 15.682 XQ 1.357 0.005 199 15.328 DNC 2.266 0.008 404 14.618 YLT 0.970 0.004 445 18.322 2.2 煤岩分形特征
分形维数能较好地反映煤岩孔裂隙的发育程度，为了探讨分形维数与煤岩孔裂隙特征及渗流特性之间的联系，根据低温液氮试验资料，采用FHH模型对贵州六盘水矿区煤岩孔裂隙分形维数进行计算。煤岩孔隙表面分形维数介于2～3，愈靠近2说明煤岩孔隙表面愈平滑，靠近3说明煤岩孔隙表面粗糙度愈大。FHH[15]模型计算表达式为
$$ \ln \left( {\frac{V}{{{V_{\text{m}}}}}} \right) = A\ln \left[ {\ln \left( {\frac{{{p_{\text{0}}}}}{p}} \right)} \right] + C $$ (1) 式中：V为平衡压力为p时吸附的气体分子体积，cm3/g；Vm为单分子层饱和吸附量，cm3/g；A为双对数曲线的斜率，与煤的孔隙分形维数D及吸附过程相关；p0为液氮温度时氮的饱和蒸气压，MPa；p为氮气分压，MPa；C为与气体吸附和凝结有关的常数；基于分形FHH模型，前人认为lnV和ln[ln(p0/p)]关系式的斜率A与D存在明确关系，并根据D=A+3计算得到煤岩分形维数，其计算结果如图3和表3所示。
表 3 基于FHH模型的孔隙分形维数Table 3. Pore fractal dimension based on FHH model煤样编号 A R2 D JJ ‒0.378 0.997 2.622 ‒0.645 0.993 2.355 MY ‒0.205 0.964 2.795 ‒0.858 0.991 2.142 DL ‒0.338 0.993 2.664 ‒0.747 0.985 2.253 XQ ‒0.384 0.998 2.616 ‒0.673 0.993 2.327 DNC ‒0.294 0.967 2.706 ‒0.779 0.992 2.221 YLT ‒0.300 0.998 2.700 ‒0.940 0.986 2.060 研究表明，D表征的为孔隙表面的非均质性特征。如图3所示，低压段分形维数越大，则孔隙内部表面的形状越不规则，光滑度越差；而高压段分形维数主要反映孔隙结构的特征，包括孔径分布与大小，分形维数越大，则孔径分布越分散，孔径越小[16]。6个煤样均为高压区分形维数（p>0.5）<低压区分形维数（p<0.5）。这表明，煤样的中大孔隙（d>2 nm）与微孔孔隙（d<2 nm）相比，孔隙结构更复杂。
2.3 煤岩粗糙度的定量描述与表征
近年来，多重分形理论在各领域都得到了国内外学者的广泛运用。利用低温氮气吸附试验对不同变质程度煤样进行孔隙结构的测定，而多重分形奇异谱α～f(α)和广义维数谱q～Dq这2种算法等价于描述多重分形特征[17]，可用于对煤样的氮气吸附分布数据进行分析。图4所示是煤样广义分形维数谱q～Dq，其中Dq为与q相关的广义分形维数，q表示矩阵的阶数（‒∞<q<+∞）。在本研究中，q的范围为−10～10，对应特征参数见表4。D1、D2和D3分别表示容量维度、信息维度和相关维度。研究发现，当q=2时，表示如下[18]
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图 4 煤样孔径分布广义分形维数谱曲线Figure 4. Generalized fractal dimension spectrum plot of coal sample pore size distribution表 4 煤样孔径分布广义分形维数谱参数Table 4. Parameters of generalized fractal dimension spectrum of pore size distribution of coal samples样品编号 D‒10 D0 D1 D2 H D10 D‒10‒D10 D‒10‒D0 D0‒D10 JJ 1.482 1 0.740 0.536 0.768 0.329 1.474 0.689 0.787 MY 1.687 1 0.587 0.455 0.681 0.213 1.152 0.482 0.671 DL 1.774 1 0.558 0.333 0.667 0.195 1.724 0.919 0.805 XQ 1.600 1 0.552 0.324 0.662 0.189 1.517 0.706 0.811 DNC 1.919 1 0.669 0.452 0.723 0.272 1.328 0.600 0.728 YLT 1.706 1 0.646 0.414 0.707 0.245 1.290 0.535 0.755 $$ H = {{\left( {{D_2} + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{D_2} + 1} \right)} 2}} \right. } 2} $$ (2) 式中：H为Hurst指数（0.5<H<1），H可用于表征粗糙度，指定空间孔隙的连通性。
全部样品的D0值为1，说明每个盒子中都存在孔隙，这与一维分布的欧式维数相对应。q～Dq谱能够有效地表征各阶段孔径分布特征的非均质性与复杂程度，从而揭示局部差异特征。如图4所示，全部煤样谱线都呈现反“S”型单调递减的趋势，说明孔径分布呈现多重分形的特点，这与μ(q,ε)函数的分析结果一致。就煤样谱宽变化而言，其与煤样变质程度并无明显联系。Hurst指数可用于反映孔隙连通性情况，由表4可见，JJ煤样Hurst指数最大，孔隙间联通性良好。
3. 裂隙粗糙度对煤岩渗透率的影响
3.1 建立考虑煤岩裂隙表面粗糙度和气体滑脱效应的渗透率模型
在第2章节中，通过扫描电镜试验观测到孔裂隙结构表面存在粗糙微元，同时将低温氮气吸附试验与FHH模型结合，定量表征煤岩非均质性。研究表明煤岩孔裂隙结构发育，存在分形特征且非均质性较强，并利用Hurst指数定量表征煤岩粗糙度表明其对煤岩渗透率的重要性。然而不少研究学者发现煤岩渗流过程中会发生滑脱效应，且其影响不可忽略，因此，笔者利用煤岩裂隙表面粗糙度修正滑脱系数，定量表征滑脱系数对煤岩渗透率的影响，并建立煤岩表观渗透率模型。
3.1.1 考虑煤岩裂隙表面粗糙度、应力及气体吸附的煤岩裂隙开度模型
基于扫描电镜试验分析结果，假设裂隙面两侧的粗糙程度相同，为简化计算，将裂隙通道简化为平板，粗糙微元假设为半球体结构（如图5所示）。并且根据分形标度定律，裂隙与粗糙微元由结构参数分形表征。
基于假设条件、粗糙裂隙平行板简化模型及王登科等[9]对粗糙微通道的分形表征研究基础，建立考虑煤岩裂隙表面粗糙度的相对粗糙度模型。裂隙表面半球体粗糙微元的有效平均高度可表示为
$$ \overline{h_{\mathrm{e}}}=\frac{V}{S\mathrm{_t}}=\frac{\varphi a_{\max}}{3}\frac{2-D_{\text{a}}}{3-D_{\text{a}}}\frac{1-\varepsilon^{3-D_{\text{a}}}}{1-\varphi} $$ (3) 式中：$ \overline{h_{\mathrm{e}}} $为裂隙半球体粗糙微元的等效平均高度；V为裂隙的单侧表面粗糙微元的体积；St为粗糙裂隙单侧表面的总面积；φ为在1个分形集合中，全部半球体底面总面积与分形集合单元总面积之比；amax为粗糙微元底边的最大直径；Da为粗糙微元底边直径分布分形维数，二维情况下，0≤Da<2；ε为将裂隙面粗糙微元的底边最小直径amin和最大直径amax之比，ε=amin/amax。
煤岩裂隙表面相对粗糙度ξ为粗糙微元的等效高度与裂隙开度b的比值，即
$$ \xi = \frac{{2\overline {{h_{\text{e}}}} }}{b} $$ (4) 赵明凯等[8]研究发现研究域内裂隙面的粗糙度几乎相同。由于裂隙半球体粗糙微元的高度h为粗糙微元底边直径a的一半，即h=a/2，结合式（3）和式（4），可以得到裂隙开度与粗糙微元底面直径的关系
$$ \frac{{{b_{\min }}}}{b} = \frac{{{{\overline {{h_e}} }_{{\text{min}}}}}}{{\overline {{h_e}} }} = \frac{{{{\left( {{a_{\max }}} \right)}_{\min }}}}{{{a_{\max }}}} $$ (5) 式中：bmin为裂隙开度的最小值；$ \overline h_{{\mathrm{e}}\text{min}} $为裂隙半球体粗糙微元等效平均高度的最小值；(amax)min为开度最小的裂隙的粗糙元底边最大长度。
将式（3）和式（5）代入式（4），由此可得煤岩裂隙表面相对粗糙度的表达式
$$ \xi = \frac{{{\text{4}}\varphi {{\left( {{h_{{\text{max}}}}} \right)}_{\min }}}}{{3{b_{\min }}}}\frac{{2 - {D_{\text{a}}}}}{{3 - {D_{\text{a}}}}}\frac{{1 - {\varepsilon ^{3 - {D_{_{\text{a}}}}}}}}{{1 - \varphi }} $$ (6) 式中：(hmax)min为开度最小的裂隙的粗糙微元最大高度。
笔者将裂隙开度b与粗糙微元等效高度$ \overline {{h_{\text{e}}}} $的差值作为流体在裂隙通道内流动的初始裂隙开度b0。仅考虑煤岩裂隙表面相对粗糙度的初始裂隙开度可表式为
$$ {b_{\text{0}}} = b - 2\overline {{h_e}} = b\left( {1 - \xi } \right) $$ (7) 结合式（7）和ZHOU等[12]对渗透率模型研究，有效应力、裂隙表面相对粗糙度及气体吸附效应综合作用下的有效裂隙开度为
$$ {b_{{\text{eff}}}} = \left. {\left\{ \begin{gathered} {b_{\text{0}}} - \frac{{{b_{\text{0}}}\alpha }}{{{\phi _{\text{0}}}K}}\left[ {\left( {\sigma - {\sigma _{\text{0}}}} \right) - \left( {P - {P_{\text{0}}}} \right)} \right] \\ - {b_{\text{0}}}f\left( {\frac{{{S_{{\text{max}}}}P}}{{{P_{\text{L}}} + P}} - \frac{{{S_{{\text{max}}}}{P_{\text{0}}}}}{{{P_{\text{L}}} + {P_{\text{0}}}}}} \right) \\ \end{gathered} \right.} \right\} $$ (8) 式中：beff为考虑应力和裂隙表面相对粗糙度及气体吸附效应综合作用下的有效裂隙开度；α为Biot的系数；σ和P分别为应力和孔隙压力；σ0和P0分别为初始平均应力和初始孔隙压力；ϕ0为煤样初始孔隙度；K为煤岩体积模量；f为内膨胀系数，表示微裂隙因基质吸附膨胀而产生的变形与基质膨胀变形的比值；Smax为吸附引起的最大应变；PL为测量应变为0.5基质块的吸附诱导应变时的孔隙压力。由于Kf=ϕ×K/α，Kf为裂隙的体积模量，ϕ为煤样孔隙度；Cf=1/Kf，Cf为裂隙压缩系数，即Cf=α/ϕ×K。将其代入式（8），可得
$$ {b_{{\text{eff}}}} = \left\{ \begin{gathered} {b_{\text{0}}} - {b_{\text{0}}}{C_{\text{f}}}\left[ {\left( {\sigma - {\sigma _{\text{0}}}} \right) - \left( {P - {P_{\text{0}}}} \right)} \right] \\ - {b_{\text{0}}}f\left( {\frac{{{S_{{\text{max}}}}P}}{{{P_{\text{L}}} + P}} - \frac{{{S_{{\text{max}}}}{P_{\text{0}}}}}{{{P_{\text{L}}} + {P_{\text{0}}}}}} \right) \\ \end{gathered} \right\} $$ (9) 3.1.2 考虑滑脱效应的煤岩表观渗透率模型
假定裂隙内流体流动形态是层流，根据立方定律，可以计算单条微裂缝中气体初始流量q为
$$ q = \frac{{lb_{^0}^3}}{{12\mu }}\frac{{\Delta p}}{{{L_{\text{t}}}}} $$ (10) 式中：l为裂隙长度；Δp为气体压力差；μ为流体黏度；煤岩中裂隙发育，具有分形特征，当考虑裂隙弯曲度时，煤岩裂隙实际渗流通道长度Lt可表示为$ {L_{\text{t}}}\left( b \right) = {b^{1 - {D_{\text{T}}}}}L_0^{{D_{\text{T}}}} $，L0为气体沿流动方向直线长度，其中Lt(b)≥L0；DT为裂隙开度分布的迂曲度分形维数，二维情况下，1<DT<2，三维为1<DT<3。通过煤岩横截面积A0的总流量为
$$ Q = - \int_{{b_{{\text{min}}}}}^{{b_{{\text{max}}}}} {q(b){\mathrm{d}}N(b)} $$ (11) 式中：bmin/bmax<1。由于粗糙微元底边长度在无限小范围内的元素总数为：$ - {\text{d}}N = {D_{\text{f}}}b_{{\text{max}}}^{{D_{\text{f}}}}{b^{ - \left( {{D_{\text{f}}} + 1} \right)}}{\text{d}}b $，将其和ROBERTSON等[19]推导出的煤的孔隙度模型ϕ=3b/l代入式（11），可得
$$ Q = \frac{{\Delta p{D_{\text{f}}}}}{{4\mu \phi L_{\text{0}}^{{D_{\text{T}}}}}}\frac{{{{\left( {1 - \xi } \right)}^3}b_{\max }^{3 + {D_{\text{T}}}}}}{{\left( {3 + {D_T} - {D_{\text{f}}}} \right)}} $$ (12) 根据分形裂隙模型，横截面上的流体通道面积之和为
$$ A = \frac{{3{D_{\text{f}}}}}{{2 - {D_{\text{f}}}}}\frac{{1 - \phi }}{{{\phi ^2}}}\left( {1 - \xi } \right)b_{\max }^2 $$ (13) 根据达西定律，并结合式（12）和式（13），可得粗糙裂隙的初始渗透率表达式为
$$ {k_0} = \frac{{Q\mu {L_0}}}{{A\Delta P}} = \frac{{\phi L_0^{1 - {D_{\text{T}}}}\left( {2 - {D_{\text{f}}}} \right){{\left( {1 - \xi } \right)}^2}b_{\max }^{1 + {D_{\text{T}}}}}}{{12\left( {3 + {D_{\text{T}}} - {D_{\text{f}}}} \right)\left( {1 - \phi } \right)}} $$ (14) 裂隙宽度随煤岩的膨胀或收缩而改变，裂隙宽度对煤岩渗透率有重要影响。因此，绝对渗透率可推导为[12]
$$ {k_\infty } = {k_0}{\left( {{{{b_{{\text{eff}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{b_{{\text{eff}}}}} {{b_0}}}} \right. } {{b_0}}}} \right)^3} $$ (15) 将式（9）和式（14）代入式（15）中，得到绝对渗透率为
$$ \begin{gathered} {k_\infty } = \frac{{L_0^{1 - {D_{\text{T}}}}{{\left( {1 - \xi } \right)}^2}b_{\max }^{1 + {D_{\text{T}}}}\left( {2 - {D_{\text{f}}}} \right)}}{{12\left( {3 + {D_{\text{T}}} - {D_{\text{f}}}} \right)}}\frac{\phi }{{1 - \phi }} \times \\ {\left\{ \begin{gathered} 1 - {C_{\text{f}}}\left[ {\left( {\sigma - {\sigma _{\text{0}}}} \right) - \left( {P - {P_0}} \right)} \right] \\ - \frac{{3f}}{{{\phi _0}}}\left( {\frac{{{S_{\max }}P}}{{{P_L} + P}} - \frac{{{S_{\max }}{P_0}}}{{{P_L} + {P_0}}}} \right) \\ \end{gathered} \right\}^3} \end{gathered} $$ (16) 克林伯格方程考虑到气体滑移效应能进一步有效预测致密多孔介质中气体的表观渗透率[20]，并将渗透率与压力的联系起来，克林伯格方程表示为
$$ {k_{{\text{app}}}} = {k_\infty }\left( {1 + {{{B_{{\text{eff}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{B_{{\text{eff}}}}} P}} \right. } P}} \right) $$ (17) 式中：Kapp为表观渗透率；Beff为考虑有效应力、裂隙表面相对粗糙度和气体吸附的综合作用下的滑脱系数，可用$ {B_{{\text{eff}}}} = {{\left( {16 {\mathrm{c}}\mu \sqrt {{{2RT} \mathord{\left/ {\vphantom {{2RT} {\left( {\pi M} \right)}}} \right. } {\left( {\pi M} \right)}}} } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {16c\mu \sqrt {{{2RT} \mathord{\left/ {\vphantom {{2RT} {\left( {\pi M} \right)}}} \right. } {\left( {\pi M} \right)}}} } \right)} {{b_{{\text{eff}}}}}}} \right. } {{b_{{\text{eff}}}}}} $来确定[21]；c为常数（通常取0.9)，M为气体分子量；R和T分别为通用气体常数和绝对温度；Beff受气体本身性质的影响，与裂隙开度密切相关。于是，考虑应力、裂隙表面相对粗糙度和气体吸附的综合作用下的滑脱系数与裂隙开度的关系式为
$$ {{{B_{{\text{eff}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{B_{{\text{eff}}}}} {{B_{\text{0}}}}}} \right. } {{B_{\text{0}}}}} = {{{b_{\text{0}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{b_{\text{0}}}} {{b_{{\text{eff}}}}}}} \right. } {{b_{{\text{eff}}}}}} $$ (18) 式中：B0为初始状态（不受应力和气体吸附效应综合作用）的滑脱系数。
将式（16）、式（18）代入式（17）可得，考虑有效应力、裂隙表面相对粗糙度、气体吸附及滑脱效应综合作用下的煤岩表观渗透率模型为
$$ \begin{gathered} {k_{{\text{app}}}} = \frac{{L_0^{1 - {D_{\text{T}}}}\left( {2 - {D_{\text{f}}}} \right){{\left( {1 - \xi } \right)}^2}b_{\max }^{1 + {D_{\text{T}}}}}}{{12\left( {3 + {D_{\text{T}}} - {D_{\text{f}}}} \right)}}\frac{\phi }{{1 - \phi }} \\ {\left\{ \begin{gathered} 1 - {C_{\text{f}}}\left[ {\left( {\sigma - {\sigma _{\text{0}}}} \right) - \left( {P - {P_0}} \right)} \right] \\ - \frac{{3f}}{{{\phi _0}}}\left( {\frac{{{S_{\max }}P}}{{{P_L} + P}} - \frac{{{S_{\max }}{P_0}}}{{{P_L} + {P_0}}}} \right) \\ \end{gathered} \right\}^3} \times \\ \left\{ {1 + {{{B_0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{B_0}} {\left\{ {P\left\{ \begin{gathered} 1 - {C_{\text{f}}}\left[ {\left( {\sigma - {\sigma _{\text{0}}}} \right) - \left( {P - {P_{\text{0}}}} \right)} \right] \\ - \frac{{3f}}{{{\phi _0}}}\left( {\frac{{{S_{{\text{max}}}}P}}{{{P_{\text{L}}} + P}} - \frac{{{S_{{\text{max}}}}{P_{\text{0}}}}}{{{P_{\text{L}}} + {P_{\text{0}}}}}} \right) \\ \end{gathered} \right\}} \right\}}}} \right. } {\left\{ {P\left\{ \begin{gathered} 1 - {C_{\text{f}}}\left[ {\left( {\sigma - {\sigma _{\text{0}}}} \right) - \left( {P - {P_{\text{0}}}} \right)} \right] \\ - \frac{{3f}}{{{\phi _0}}}\left( {\frac{{{S_{{\text{max}}}}P}}{{{P_{\text{L}}} + P}} - \frac{{{S_{{\text{max}}}}{P_{\text{0}}}}}{{{P_{\text{L}}} + {P_{\text{0}}}}}} \right) \\ \end{gathered} \right\}} \right\}}}} \right\} \\ \end{gathered} $$ (19) 3.2 模型验证与分析
此前，作者团队针对贵州六盘水地区的煤样开展了恒定外应力条件下的煤岩渗透率测试，并建立了考虑煤岩裂隙分形特征的渗透率模型，分析了煤岩孔裂隙下分形维数和渗透率的耦合机理[22]。然而，该研究尚未考虑煤岩裂隙表面粗糙度的影响。在本文中，基于分形理论定量表征煤岩裂隙表面相对粗糙度，建立了考虑裂隙表面相对粗糙度、吸附应力及滑脱效应的表观渗透率模型。基于渗透率测试结果，通过匹配试验结果与理论结果，进一步探讨并量化分析煤岩裂隙表面相对粗糙度及滑脱系数与渗透率的响应机理。试验条件为恒定有效应力，存在(σ‒σ0)‒(P‒P0)=0，煤岩内气体运移通道大致为一条直线，DT=1。为了验证考虑裂隙表面相对粗糙度的煤岩表观渗透率模型的合理性，将粗糙微元最小与最大底边长度的比值ε、粗糙微元的最大高度与裂隙开度的比值hmax/b、φ代入式（6）中，粗糙微元底边长度分布的分形维数Da的值可通过式Da=dE−(lnφ/lnε)获得，可得煤岩裂隙表面相对粗糙度ξ。进一步将Smax、PL、f、Df、bmax（见表5）代入式（19）得到模型计算结果与试验数据对比如图6所示，球形实点为试验数据、曲线为拟合数据。
表 5 模型验证参数Table 5. Model validation parameters由图6可知，所建表观渗透率模型与试验数据具有相同的变化趋势，表明所建立的表观渗透率模型可较好地表征裂隙的表观渗透率随孔隙压力的变化关系。同时可知煤岩表观渗透率随孔隙压力的增大呈先减小并逐渐趋于平缓的变化趋势。究其原因：随孔隙压力增大前期，滑脱效应占主导，由于滑脱效应导致裂隙表面存在一定附加流量而导致煤岩表观渗透率在孔隙压力增大前期较大；随孔隙压力增大后期，气体吸附效应逐渐占主导，而由于煤层气逐渐吸附于裂隙壁面占据裂隙通道，裂隙通道减小而增大渗流阻力，煤岩表观渗透率逐渐减小。然而煤岩表观渗透率逐渐趋于平缓的变化趋势，究其原因：气体吸附效应随孔隙压力的增大，气体吸附量逐渐达到饱和，基质膨胀变形量逐渐减小而对裂隙影响减小并逐渐趋于可忽略状态。此外，通过与WANG[22]等计算值的比较，发现所提模型计算值与其的变化趋势相似以及计算值与其在同一数量级，侧面证明笔者所建模型的可靠性与合理性。
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图 6 煤岩表观渗透率与孔隙压力的演化关系Figure 6. Evolution of apparent permeability and pore pressure in coal3.3 煤岩裂隙表面相对粗糙度与滑脱系数的动态演化
由式（18）可知，滑脱系数主要与煤岩裂隙表面相对粗糙度、初始滑脱系数和有效裂隙开度beff及裂隙开度相关。为探究煤岩裂隙表面相对粗糙度对滑脱系数的影响，将裂隙表面相对粗糙度ξ分别设为0.004，0.006，0.008，0.01，得到不同孔隙压力下滑脱系数Beff与ξ的演化规律，如图7所示。
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图 7 不同孔隙压力下相对粗糙度与滑脱系数的变化关系Figure 7. Relationship between relative roughness and slippage coefficient under different pore pressures由图7可知，滑脱系数随煤岩裂隙表面相对粗糙度的增大而增大，究其原因：一方面，滑脱效应是指由于煤层气运移过程中与裂隙壁面碰撞而促使壁面产生的附加流速，相对粗糙度越大，气体分子与壁 面碰撞越多，滑脱效应增大。即对气体分子产生相应的动力，促使煤层气分子运移速度增大，滑脱效应增大。另一方面，裂隙表面相对粗糙度增大会导致煤岩有效裂隙开度减小，进而导致煤层气体分子与壁面的碰撞频率增大从而导致滑脱效应增大。
3.4 滑脱系数与煤岩表观渗透率的响应机制
滑脱效应是指气体运移过程中与裂隙壁面频繁碰撞而在裂隙壁面产生的附加流速，导致煤层气运移速度增大而促使煤岩表观渗透率增大。为探究煤岩裂隙表面相对粗糙度对滑脱系数的影响，煤岩内气体运移通道可以近似于直线，即DT=1，结合式（14）、式（15）、式（17）和式（18）可得煤岩粗糙度与滑脱系数的关系式
$$ \begin{gathered} {k_{{\text{app}}}} = \frac{{\left( {2 - {D_{\text{f}}}} \right){{\left( {1 - \xi } \right)}^2}b_{\max }^2}}{{12\left( {4 - {D_{\text{f}}}} \right)}}\frac{\phi }{{1 - \phi }} \times \\ {\left( {\frac{{{b_{{\text{eff}}}}}}{{{b_{\text{0}}}}}} \right)^3} \times \left( {1 + \frac{{{B_{\text{0}}}}}{{P\left( {{{{b_{{\text{eff}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{b_{{\text{eff}}}}} {{b_{\text{0}}}}}} \right. } {{b_{\text{0}}}}}} \right)}}} \right) \\ \end{gathered} $$ (20) 图8所示为不同初始状态下滑脱系数B0下，粗糙裂隙的表观渗透率随孔隙压力的变化关系图。由图8可知，相同初始滑脱系数条件下，煤岩表观渗透率均随孔隙压力增大而减小并趋于平缓。孔隙压力增大阻碍气体通过煤岩渗流通道，且孔隙压力越小时，阻碍作用越明显。而相同孔隙压力条件下，随初始滑脱系数B0的增大，煤岩表观渗透率随之增大。此时，滑脱系数增大，气体分子碰撞煤壁的概率增大，即滑脱效应增强，滑脱效应对煤岩渗透起促进作用，所以，煤岩表观渗透率也随之增大。滑脱系数越大，其作用效应越强。
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图 8 不同B0条件下煤岩表观渗透率与孔隙压力的关系Figure 8. Relationship between apparent permeability and pore pressure of coal with different B0 values4. 结 论
1）将扫描电镜与低温氮气吸附试验相结合，对煤岩孔裂隙进行联合表征，通过扫描电镜试验观测到孔裂隙结构表面存在粗糙微元，同时低温氮气吸附试验与FHH模型结合结果表明，煤岩孔裂隙结构发育，存在分形特征且非均质性较强。
2）粗糙微元分形维数的含义表示煤岩裂隙表面相对粗糙度的粗糙程度，相对粗糙度会随粗糙微元分形维数的增大而增大。当粗糙微元分形维数恒定时，相对粗糙度随粗糙微元的尺度比例ε的增大而减小，煤岩裂隙开度b越小，裂隙表面相对粗糙度对裂隙开度越敏感。
3）随着煤岩裂隙表面相对粗糙度增加，滑脱系数也随之增加。一方面，相对粗糙度越大，气体分子 与壁面碰撞越多，导致滑脱效应增大。另一方面相对粗糙度增大会导致煤岩有效裂隙开度减小，进而导致煤层气体分子与壁面的碰撞频率增大从而导致滑脱效应增大。
4）在同一初始滑脱系数下，煤岩表观渗透率随孔隙压力升高而减小且趋于平缓。孔隙压力增大阻碍气体通过煤岩渗流通道，且孔隙压力越小时，阻碍作用越明显。相同孔隙压力条件下，随初始滑脱系数B0的增大，煤岩表观渗透率随之增大。滑脱效应对煤岩渗透起促进作用，滑脱系数越大，其作用效应越强。
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图 1 基于SEM的煤岩裂隙形态特征
Figure 1. Morphological characteristics of coal fractures based on SEM
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图 2 煤样低温氮气吸附试验等温线
Figure 2. Low temperature nitrogen adsorption isotherm of coal samples
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图 4 煤样孔径分布广义分形维数谱曲线
Figure 4. Generalized fractal dimension spectrum plot of coal sample pore size distribution
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图 6 煤岩表观渗透率与孔隙压力的演化关系
Figure 6. Evolution of apparent permeability and pore pressure in coal
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图 7 不同孔隙压力下相对粗糙度与滑脱系数的变化关系
Figure 7. Relationship between relative roughness and slippage coefficient under different pore pressures
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图 8 不同B0条件下煤岩表观渗透率与孔隙压力的关系
Figure 8. Relationship between apparent permeability and pore pressure of coal with different B0 values
表 1 煤样工业分析测试结果
Table 1 Industrial analysis of coal samples
煤样编号 采样位置 Mad/% Ad/% Vdaf/% 煤阶 JJ 金佳煤矿 2.26 27.50 11.87 低挥发分烟煤 MY 马依煤矿 1.35 17.44 12.29 低挥发分烟煤 DL 东李煤矿17号 1.27 3.79 20.64 中挥发分烟煤 XQ 湘桥煤矿 1.05 6.97 29.44 中高挥发分烟煤 DNC 打牛厂煤矿 2.44 9.06 30.88 中高挥发分烟煤 YLT 月亮田煤矿 1.32 15.97 32.98 中高挥发分烟煤 
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表 2 低温氮气吸附法测定孔隙结构参数
Table 2 Analysis results of low- temperature nitrogen adsorption isotherms
煤样 BET比表面积/
(m2·g‒1)总孔容/
(cm3·g‒1)平均孔径/
nmJJ 1.374 0.003 001 8.737 MY 1.205 0.004 770 15.830 DL 0.786 0.003 082 15.682 XQ 1.357 0.005 199 15.328 DNC 2.266 0.008 404 14.618 YLT 0.970 0.004 445 18.322
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表 3 基于FHH模型的孔隙分形维数
Table 3 Pore fractal dimension based on FHH model
煤样编号 A R2 D JJ ‒0.378 0.997 2.622 ‒0.645 0.993 2.355 MY ‒0.205 0.964 2.795 ‒0.858 0.991 2.142 DL ‒0.338 0.993 2.664 ‒0.747 0.985 2.253 XQ ‒0.384 0.998 2.616 ‒0.673 0.993 2.327 DNC ‒0.294 0.967 2.706 ‒0.779 0.992 2.221 YLT ‒0.300 0.998 2.700 ‒0.940 0.986 2.060
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表 4 煤样孔径分布广义分形维数谱参数
Table 4 Parameters of generalized fractal dimension spectrum of pore size distribution of coal samples
样品编号 D‒10 D0 D1 D2 H D10 D‒10‒D10 D‒10‒D0 D0‒D10 JJ 1.482 1 0.740 0.536 0.768 0.329 1.474 0.689 0.787 MY 1.687 1 0.587 0.455 0.681 0.213 1.152 0.482 0.671 DL 1.774 1 0.558 0.333 0.667 0.195 1.724 0.919 0.805 XQ 1.600 1 0.552 0.324 0.662 0.189 1.517 0.706 0.811 DNC 1.919 1 0.669 0.452 0.723 0.272 1.328 0.600 0.728 YLT 1.706 1 0.646 0.414 0.707 0.245 1.290 0.535 0.755
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