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多层结构底板破坏深度精确预测与Matlab实现

李昂, 王伟东, 牟谦, 王峰, 马政和, 赵磊, 黄刚, 周永根, 田胜祺

李 昂,王伟东,牟 谦,等. 多层结构底板破坏深度精确预测与Matlab实现[J]. 煤炭科学技术,2025,53(S1):261−274. DOI: 10.12438/cst.2023-1514
引用本文: 李 昂,王伟东,牟 谦,等. 多层结构底板破坏深度精确预测与Matlab实现[J]. 煤炭科学技术,2025,53(S1):261−274. DOI: 10.12438/cst.2023-1514
LI Ang,WANG Weidong,MOU Qian,et al. Accurate prediction of damage depth of multi-story structural footings with Matlab implementation[J]. Coal Science and Technology,2025,53(S1):261−274. DOI: 10.12438/cst.2023-1514
Citation: LI Ang,WANG Weidong,MOU Qian,et al. Accurate prediction of damage depth of multi-story structural footings with Matlab implementation[J]. Coal Science and Technology,2025,53(S1):261−274. DOI: 10.12438/cst.2023-1514

多层结构底板破坏深度精确预测与Matlab实现

基金项目: 

陕西省自然科学基础研究计划重点资助项目(2020JZ-52);国家自然科学基金面上资助项目(51874229)

详细信息
    作者简介:

    李昂: (1981—),男,辽宁鞍山人,副教授,博士生导师,博士。E-mail:angli@xust.edu.cn

  • 中图分类号: TD32

Accurate prediction of damage depth of multi-story structural footings with Matlab implementation

  • 摘要:

    矿井煤岩层开采工作面底板扰动会诱发底板隔水岩层上部受到破坏,底板破坏深度计算是科学确定底板破坏深度的基本前提。以往采用单一岩层底板塑性滑移线场理论计算往往与实际偏差较大,原因在于底板破坏范围内其结构主要由多层结构组成。首先构建多层结构底板塑性滑移线场力学模型,推导出多工况下底板破坏深度解析解,并优化出5种计算多层结构底板破坏深度计算工况;其次分析多层结构底板破坏深度人工计算方法的不足及误差原因;提出了计算多层结构底板破坏深度逻辑流程,借助Matlab语言开发了多层结构底板破坏深度计算系统,并结合实际工况分析该系统的可靠性和稳定性。结果表明:①多层结构底板破坏深度计算过程中多数工况需多次利用泰勒展开式和一元四次方程求解,人工计算过程冗长繁杂,极易导致计算结果出现偏差;②通过手算和机算(Matlab内置函数)对比计算同一工况下相同参数时底板最大破坏深度,可知随底板层数增多,人工求解过程中因泰勒展开式的多次运用导致底板破坏深度计算结果累积误差增大,而Matlab编程求解过程中避免泰勒式应用,其结果更符合现场实际需求;③软件主界面包含层数、层厚、力学参数及输入框、计算按钮等功能,可快速智能判别工况,计算出底板最大破坏深度及开采面至底板最大破坏深度水平距离;④将平煤某矿相关岩性力学参数代入该软件求解,通过对比分析5层结构底板最大破坏深度理论值、拟合值、实测值及软件值可知,理论值与实测结果偏差0.57 m,软件值与实测值相差0.14 m,多层计算结果下软件计算更符合实际需求,可为底板水害防治及安全开采提供可靠的技术参数。

    Abstract:

    The bottom slab disturbance in the working face of coal rock mining will induce the upper part of the bottom slab water barrier to be damaged, and the calculation of the bottom slab damage depth is the basic premise to determine the bottom slab damage depth scientifically. In the past, the theoretical calculation of the plastic slip line field of the bottom slab of a single rock stratum often deviated greatly from the actual one, because the structure within the damage range of the bottom slab mainly consisted of multi-layer structures. Firstly, we construct a mechanical model of plastic slip line field of multilayer structure base plate, derive the analytical solution of base plate damage depth under multiple working conditions, and optimize five working conditions for calculating the damage depth of multilayer structure base plate; secondly, we analyze the shortage and error causes of manual calculation method of damage depth of multilayer structure base plate; we propose a logical flow for calculating the damage depth of multilayer structure base plate, and develop a system for calculating the damage depth of multilayer structure base plate with the help of Matlab language. The system was developed with the help of Matlab language, and the reliability and stability of the system were analyzed with the actual working conditions. The results show that ① most of the working conditions in the calculation of the damage depth of multilayer structure base plate need to be solved by Taylor expansion and quadratic equation several times, and the manual calculation process is long and complicated, which is very likely to lead to deviations in the calculation results; ② by comparing the maximum damage depth of the base plate under the same working condition with the same parameters by manual calculation and machine calculation (Matlab built-in function), it can be seen that with the increase of the number of layers of the base plate, the manual solution process leads to the maximum damage depth of the base plate due to the repeated application of Taylor expansion. ③ The main interface of the software contains the number of layers, layer thickness, mechanical parameters, input boxes, calculation buttons, etc., which can quickly and intelligently identify the working conditions and calculate the maximum depth of damage of the bottom slab and the maximum depth of damage from the mining face to the bottom slab. ④ will be a mine of flat coal related lithological mechanical parameters into the software solution, by comparing and analyzing the five-layer structure of the maximum depth of destruction of the base plate theoretical value, fitting value, measured value and software value can be seen, the theoretical value and measured results deviation of 0.57 m, software value and measured value of the difference of 0.14 m, the results of multi-layer calculations under the software calculations are more in line with the actual needs, can be for the bottom of the board of the prevention and control of water hazards and safety of mining to provide a reliable technology parameter.

  • 煤炭资源是我国能源构成中至关重要的部分,近些年诸多矿区资源开采逐渐由浅部转向深部[1-3],煤炭安全高效开采是保障该资源正常供应的首要问题。采煤过程中会导致原岩应力状态失去平衡[4-6],继而使得底板岩层受到一定程度的扰动,底板产生的裂隙可能贯穿至含水层,直接影响采煤工作面的安全,甚至造成严重的生命财产损失,底板破坏深度的准确判断[7-8]是矿井防治底板突水的有效手段。

    目前国内外学者在煤层底板破坏深度研究方面取得的成果丰硕,理论方面以塑性滑移线场为主。鲁海峰等[9]运用瑞典条分法搜出危险滑面并获取稳定系数和滑面最大深度,为正确使用弹塑性理论求解底板最大破坏深度提供了依据;张金才等[10]根据塑性滑移线场理论构建了底板受力模型,给出了采面底板破坏形态;孙建[11] 以塑性滑移线场为依托建立了倾斜煤层的底板破坏力学模型,分析了沿煤层倾斜方向底板三区破坏形态;李昂等[12-13]针对董家河煤矿带压水上采煤问题,基于塑性滑移线场理论给出了煤层底板破坏深度解析解。上述理论计算方法中利用塑性滑移线场理论进行底板破坏深度分析时均将底板视为单一岩体,然而底板是由不同岩性岩层构成的复合结构[14-16],且塑性滑移线场理论是基于岩层平均内摩擦角和层厚等参数去求解底板最大破坏深度,若按照传统的单一岩层底板塑性滑移线场理论计算会因为忽略各岩层不同内摩擦角和岩性而产生较大误差。

    随着采深的日益增加,煤矿安全开采受强烈开采扰动和高承压水的影响日趋严重化与复杂化[17-20]。虽然李昂等[21-22]对于平煤某矿深部开采建立了3层复合底板塑性滑移线场力学计算模型,并对底板破坏深度解析式进行推导,但该计算过程繁杂、工作量大,部分工况计算结果因泰勒展开式的运用只能取近似值。如果底板隔水层厚度较大、岩性较为复杂,根据柱状把岩性相近或岩层厚度较薄的岩层划分为1层,摩擦角取其平均值;岩层较厚且岩性差异较大的岩层划分为另外层,但最多只能渐划为3层,适用性较差,难以满足深部开采中多岩性结构底板破坏深度的分析计算。

    对于深部煤层开采迫切需要一种计算精度高、方便快捷的多岩性结构底板最大破坏深度计算方式。基于此,在3层复合结构底板的力学模型基础上,对多层结构底板破坏深度解析解进行推导。对各计算工况进行优化,提出了多层结构底板的5种计算工况,形成了计算逻辑流程判别图,利用Matlab语言开发了多层结构底板破坏深度计算系统V1.0软件,并通过应用分析部分验证了该计算系统的严谨性与精确性,对推动深部煤岩开采面底板水害防治技术有较大作用。

    考虑到现场实际底板岩层的复杂性,采用n层模型计算底板最大破坏深度及采面至最大破坏深度的水平距离。而底板最大破坏深度与底板超前塑性破坏长度密切相关,采用理论值与实测值相结合的方法确定底板超前塑性破坏长度。理论值采用经典塑性滑移线力学模型计算:

    $$ x_0=\frac{H_2}{\theta^*}\left\{\left[\left(K\gamma H_1+\frac{C_1}{f_1}\right)\left(\dfrac{f_1}{C_1+f_1\sigma_{\mathrm{c}}}\right)\right]^{\tfrac{\theta^*}{2k_{\mathrm{p}}f_1}}-1\right\} $$ (1)

    式中:x0为底板超前塑性破坏长度;H1为煤层的埋深; H2为煤层的采高;K为支承压力峰值系数(由现场实测得到);$ \gamma $ 为煤层覆岩的平均容重;$ \theta^* $为煤层的变形角;$ C_1 $为煤层与顶底板接触面上的黏聚力;f1为煤层与顶板界面间的摩擦因数;$ \sigma_c $为单轴压缩时煤体的极限抗压强度,$ \sigma_{\mathrm{c}}=\dfrac{2C\cos\ \varphi_{ }}{1-\sin\ \varphi_{ }} $,C为煤体的黏聚力;$\varphi $为内摩擦角;$ k_{\mathrm{p}}=\dfrac{1+\sin\ \varphi_{ }}{1-\sin\ \varphi_{ }} $。

    深部煤岩开采面底板岩性不尽相同,使得计算工况也愈发复杂。以岩体主动极限区深度H0所处岩层位置作为判别依据,对多层结构底板进行5种工况划分。n层结构底板破坏深度计算简图如图1所示。

    图  1  n层结构底板破坏深度计算简图
    Figure  1.  Sketch of damage depth calculation of n-story structure floor

    n=1,即将底板看作单一岩层,学者张金才[10]认为当煤层被采出后,采空区四周岩体所承受的垂直应力增大,当垂直应力作用范围的底板 (如图2中I区所示) 下岩体所受采动应力超过其最大强度时,底板岩体结构将发生塑性破坏,由于该岩体在法向方向上受到挤压作用,将会发生水平方向的拉伸,变形后的岩体压迫过渡区域(如图2中Ⅱ区所示)内的底板岩体,并将附加应力传递到该区域。过渡区域岩体受其压迫后,将会继续压迫被动区域内的底板岩体 (如图2中Ⅲ区所示)。其中,主动和被动区各由两条直线构成,过渡区滑移线分别由对数螺旋线和自O点的放射线组成。

    图  2  极限状态下底板破坏深度计算简图
    Figure  2.  Sketch of damage depth calculation for bottom slab in limit condition

    螺线方程为

    $$ r=r_0\mathrm{e}^{\theta\tan\ \varphi_1} $$ (2)

    式中:rO到对数螺旋线BC之间的距离;r0OB之间的距离;$ \theta $为相邻底板岩层间的夹角,此时代表OBOE之间的夹角;$ \varphi_{1} $为底板岩层的平均内摩擦角。

    根据三角函数公式能求出第1段对数螺旋线的起点半径r0

    $$ OB = {r_0} = \frac{{{x_0}}}{{2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right)}} $$ (3)

    然后根据得出的起始半径r0rθ值,经过推导得出最终的单层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式为

    $$ h_0=\frac{x_0}{2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}\right)}\mathrm{e}^{\left(\tfrac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}\right)\tan\ \varphi_1}\cos\ \varphi_1 $$ (4)

    图1几何关系知开采面至最大破坏深度水平距离OG为

    $$ OG=\frac{x_0}{2\cos\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}\right)}\mathrm{e}^{\left(\tfrac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}\right)\tan\ \varphi_1}\sin\ \varphi_1 $$ (5)

    此求解方法是将底板简化为单一岩层,但实际工程中底板岩体由多种岩性的岩体组成,岩层之间内摩擦角并不相同,采用单一岩层底板计算最大破坏深度存在较大误差。

    H0H1,即主动极限区深度小于首层岩层厚度时,因结构底板各内摩擦角不同会导致出现多条对数螺旋线半径,采用层数n确定待求对数螺旋线半径的条数,由图1几何关系知底板主动极限区深度H0

    $$ {H_0} = \frac{{{x_0}}}{2} \cdot \tan \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{{\varphi _1}}}{2}} \right) $$ (6)

    O点作为2段对数螺旋线的旋转中心点,且交界处螺旋线半径保持不变,根据三角函数公式能求出第1段对数螺旋线的起点半径r0

    $$ OB = {r_0} = \frac{{{x_0}}}{{2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right)}} $$ (7)

    第2段对数螺旋线起始半径r1由方程组(8)联立求解:

    $$ \left\{\begin{gathered}r_1=\frac{H^1}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}+\theta_1\right)} \\ r_1=r_0\mathrm{e}^{\theta_1\tan\ \varphi_1} \\ \end{gathered}\right. $$ (8)

    式中:$ \theta_{1}\text { 为对数螺旋线半径 } r_{0} \text { 与 } r_{1} \text { 间夹角。化简为 } $

    $$ H^1=r_0\mathrm{e}^{\theta_1\tan\ \varphi_1}\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}+\theta_1\right) $$ (9)

    对于式(8)中的未知数θ1采用泰勒展开求得近似解,根据泰勒展开式:

    $$ \mathrm{e}^{\theta_1\tan\ \varphi_1}\approx1+\theta_1\tan\ \varphi_1 $$ (10)
    $$ \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{{\varphi _1}}}{2} + {\theta _1}} \right) \approx \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{{\varphi _1}}}{2} + {\theta _1}} \right) - \dfrac{{{{\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2} + {\theta _1}} \right)}^3}}}{6} $$ (11)

    将式(10)和式(11)代入式(9),可得

    $$ H^1\approx r_0\cdot(1+\theta_1\tan\ \varphi_1)\cdot\left[\begin{array}{*{20}{c}}\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}+\theta_1\right)- \\ \dfrac{\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}+\theta_1\right)^3}{6}\end{array}\right] $$ (12)

    展开得

    $$ \begin{array}{*{20}{c}}\left(-\dfrac{1}{6}\mathrm{tan\ }\varphi_1\right)\theta_1^4+\left[-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}\right)\mathrm{tan}\ \varphi_1\right]\theta_1^3+ \\ \left[\mathrm{\mathrm{tan}}\ \varphi_1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}\right)^2\mathrm{tan}\ \varphi_1\right]\theta_1^2+ \\ \left[\begin{array}{*{20}{c}}1-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}\right)\mathrm{tan}\ \varphi_1 \\ \\ -\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}\right)^3\mathrm{tan\ }\varphi_1\end{array}\right]\theta_1+ \\ \left[\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}-\dfrac{H_1}{r_0}-\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}\right)^3\right]=0\end{array} $$ (13)

    在式(13)中,令

    $$ \begin{gathered}a=-\frac{1}{6}\tan\ \varphi_1,b=-\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}\right)\tan\ \varphi_1, \\ c=\tan\ \varphi_1-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}\right)^2\tan\ \varphi_1, \\ d=1-\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}\right)^2+\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}\right)\tan\ \varphi_1- \\ \frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}\right)^3\tan\ \varphi_1, \\ e=\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}-\frac{H_1}{r_0}-\frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\varphi_1}{2}\right)^3 \\ \end{gathered} $$

    则式(13)表示为

    $$ a\theta _1^2 + b\theta _1^3 + c\theta _1^4 + d{\theta _1} + e = 0 $$ (14)

    由一元四次方程的费拉里解法可知,式(14)存在4个解,考虑到所求解是对数螺旋线的夹角,因此实际取值需为正数,最后经验算,实际存在的解仅1个,即

    $$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _1} = \dfrac{{ - b}}{{4a}} + \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \dfrac{{2c}}{{3a}} + {\text{\Delta }}} } -\\ { \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{2{a^2}}} - \dfrac{{4c}}{{3a}} - {\text{\Delta }} + \dfrac{{ - \dfrac{{{b^3}}}{{{a^3}}} + \dfrac{{4bc}}{{{a^2}}} - \dfrac{{8 d}}{a}}}{{4\sqrt {\dfrac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} - \dfrac{{2c}}{{3a}} + {\text{\Delta }}} }}} } \end{array} $$ (15)

    式中

    $$ \begin{gathered}{\text{\Delta }} = \frac{{\sqrt[3]{2}{{\text{\Delta }}_1}}}{{3\alpha \sqrt[3]{{{{\text{\Delta }}_2} + \sqrt[2]{{ - 4{{\text{\Delta }}_1}^3 + {{\text{\Delta }}_2}^2}}}}}} + \\ \frac{{\sqrt[3]{{{{\text{\Delta }}_2} + \sqrt[2]{{ - 4{{\text{\Delta }}_1}^3 + {{\text{\Delta }}_2}^2}}}}}}{{3\sqrt[3]{2}\alpha }}\\ {{\text{\Delta }}_1} = {c^2} - 3bd + 12ae; \\ {{\text{\Delta }}_2} = 2{c^3} - 9bcd + 27a{d^2} + 27{b^2}e - 72ace \end{gathered} $$

    式中:αGE与对数螺旋线r之间夹角。

    从而计算出第2段螺旋线起始半径r1,将所求θ1r1代入方程组(16):

    $$ \left\{\begin{gathered}r_2=\dfrac{H'+H''}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}+\theta_1+\theta_2\right)} \\ r_2=r_1\mathrm{e}^{\theta_2\tan\ \varphi_2} \\ \end{gathered}\right. $$ (16)

    式中:θ2 为对数螺旋线半径r1与r2间夹角。

    依次计算$ \theta_I,\theta_2,\cdots\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-2},r_1,r_2,\cdots r_{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}-2} $,将所求$ \theta_I,\theta_2,\cdots\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-2},r_{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}-2} $代入方程组(17):

    $$ \left\{\begin{gathered}r_{\mathrm{\mathit{n}}-1}=\dfrac{H^1+H^2+...+H^{n-1}}{\mathrm{sin}\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}+\theta_1+\theta_2+\theta_3+...\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-1}\right)} \\ r_{\mathrm{\mathit{n}}-1}=r_{\mathrm{\mathit{n}}-2}\mathrm{e}^{\theta_{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}-1}\mathrm{tan}\ \varphi_{\mathrm{\mathit{n}}-1}} \\ \end{gathered}\right. $$ (17)

    式中:θn–1 为对数螺旋线半径rn–2与rn–1间夹角。

    第2段随后的螺旋线起始半径及螺旋线夹角$ r_{\mathrm{2}},\theta_{\mathrm{2}},r_{\mathrm{3}},\theta_{\mathrm{3}},\cdots,r_{\mathrm{\mathit{n}}-1},\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-1} $的求解方法与r1相同,最终结果采用数学计算软件Mathematic进行求解。

    在△OEG

    $$ OE=r=r_{\mathrm{\mathit{n}}-1}\mathrm{e}^{\theta\tan\ \varphi_{\mathrm{\mathit{n}}}} $$ (18)
    $$ GH=h=r\cos\ \alpha=r_{\mathrm{\mathit{n}}-1}\mathrm{e}^{\theta t\tan\ \varphi_{\mathrm{\mathit{n}}}}\cos\left(\begin{array}{*{20}{c}}\theta+\theta_1+\theta_2+\cdots+ \\ \theta_{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}-1}+\dfrac{\varphi_1}{2}-\dfrac{\pi}{4}\end{array}\right) $$ (19)

    式中:$ \theta $为相邻底板岩层间的夹角,此时代表对数螺旋线 rrn–1之间夹角。

    当$ \dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}\theta}=0 $ 时,h 达到最大破坏深度h0,解得

    $$ \theta=\varphi_{\mathrm{\mathit{n}}}+\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi_1}{2}-\theta_1-\theta_2-\cdots\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-1} $$ (20)

    将式(17)、式(18)和式(20)的解代入式(19),得出多层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式:

    $$ h_0=r_{\mathrm{\mathit{n}}-1}\mathrm{e}^{\left(\varphi_{\mathrm{\mathit{n}}}+\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\varphi_1}{2}-\theta_1-\theta_2-\theta_3-...-\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-1}\right)\mathrm{tan}\ \varphi\mathit{\mathit{\mathit{_{\mathrm{\mathit{n}}}}}}}\mathrm{cos\ }\varphi_{\mathrm{\mathit{n}}} $$ (21)

    开采面至最大破坏深度水平距离OG:

    $$ OG=r_{\mathrm{\mathit{n}}-1}\mathrm{e}^{\left(\varphi\mathit{\mathit{_{\mathrm{\mathit{n}}}}}+\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\varphi_1}{2}-\theta_1-\theta_2-\theta_3-...-\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-1}\right)\mathrm{tan}\ \varphi_{\mathrm{\mathit{n}}}}\sin\ \varphi_{\mathrm{\mathit{n}}} $$ (22)

    H0=H1,主动极限区深度等于首层岩层厚度,即主动极限区深度H0处于第1层岩体和第2层岩体交界处。由图1几何关系知底板主动极限区深度H0

    $$ {H_0} = \frac{{{x_0}}}{2} \cdot \tan \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{{\varphi _1}}}{2}} \right) $$ (23)

    O点作为2段对数螺旋线的旋转中心点,且交界处螺旋线半径保持不变,根据三角函数公式能求出第1段对数螺旋线的起点半径r0

    $$ OB = {r_0} = \frac{{{x_0}}}{{2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right)}} $$ (24)

    各段螺旋线起始半径及螺旋线夹角$ r_1,\theta_1, r_2,\theta_2,r_3,\theta_3,\cdots,r_{\mathrm{\mathit{n}}-3},\theta_{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}-3} $的求解方法与工况2相同,最终结果采用数学计算软件Mathematic进行求解。

    将所求$ \theta_{\mathrm{1}},\theta_2,\cdots,\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-3},r_{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}-3} $代入方程组(25):

    $$ \left\{\begin{gathered}r_{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}-2}=\dfrac{H^1+H^2+...+H^{\mathrm{\mathit{n}}-1}}{\mathrm{sin}\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_1}{2}+\theta_1+\theta_2+\theta_3+...\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-2}\right)} \\ r_{\mathit{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}}-2}=r_{\mathit{\mathit{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}}}-3}\mathrm{e}^{\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-2}\mathrm{tan}\ \varphi_{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}-1}} \\ \end{gathered}\right. $$ (25)

    式中:θn-2 为对数螺旋线半径rn-3与rn-2间夹角。

    在△OEG

    $$ OE=r=r_{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}-2}\mathrm{e}^{\theta\tan\ \varphi_{\mathrm{\mathit{n}}}} $$ (26)
    $$ \begin{gathered}\qquad GH=h=r\cos\ \alpha= \\ r_{\mathit{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}}-2}\mathrm{e}^{\theta t\tan\ \varphi_{\mathrm{\mathit{n}}}}\cos\left(\begin{gathered}\theta+\theta_1+\theta_2+\cdots+ \\ \theta_{\mathrm{\mathit{n}}-2}+\frac{\varphi_1}{2}-\frac{\pi}{4} \\ \end{gathered}\right) \\ \end{gathered} $$ (27)

    式中:$ \theta $为相邻底板岩层间的夹角,此时代表对数螺旋线 rrn–2之间夹角。

    当$ \dfrac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}\theta}=0 $ 时,h 达到最大破坏深度h0,解得

    $$ \theta=\varphi\mathit{\mathit{_{\mathrm{\mathit{n}}}}}+\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi_1}{2}-\theta_1-\theta_2-\cdots\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-2} $$ (28)

    将式(25)、式(26)和式(28)的解代入式(27),得出多层结构底板最大滑移破坏深度的计算公式:

    $$ h_0=r_{\mathrm{\mathit{n}}-2}\mathrm{e}^{\left(\varphi\mathit{\mathit{_{\mathrm{\mathit{n}}}}}+\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\varphi_1}{2}-\theta_1-\theta_2-\theta_3-...-\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-2}\right)\mathrm{tan\ }\varphi_{\mathrm{\mathit{n}}}}\mathrm{cos}\ \varphi_{\mathrm{\mathit{n}}} $$ (29)

    开采面至最大破坏深度水平距离OG

    $$ OG=r_{\mathit{\mathrm{\mathit{n}}}-2}\mathrm{e}^{\left(\varphi_{\mathrm{\mathit{n}}}+\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\varphi_1}{2}-\theta_1-\theta_2-\theta_3-...-\theta_{\mathrm{\mathit{n}}-2}\right)\mathrm{tan}\ \varphi_{\mathrm{\mathit{n}}}}\sin\ \varphi_{\mathrm{\mathit{n}}} $$ (30)

    图1几何关系

    $$ \overline{N^{t} A^{\prime}}=x_{0}-\sum_{i=1}^{n-1} 2 H^{{i}} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi_{{i}}}{2}\right) $$ (31)

    在△N’A’B

    $$ \overline{OA'}=\frac{\overline{N'A'}\cdot\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{\mathit{\mathit{\mathit{\mathrm{\mathit{i}}}}}+1}}{2}\right)}{2} $$ (32)
    $$ H_0=\overline{O A^{\prime}}+\sum_{i=1}^{n-1} H^{{i}} $$ (33)

    $ \displaystyle\sum_{i=1}^{n-2}H\mathit{^{\mathrm{\mathit{i}}}} < H_0\leqslant\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}H^{\mathrm{\mathit{i}}} $,即主动极限区深度H0处于岩体第2层至第n–1层之间,主动极限区、被动极限区分别为2条直线,但过渡区滑移线由多段对数螺旋线组成,且各段螺旋线起始半径由主动极限区深度H0所处岩层位置确定。该工况底板层数为n层时,主动极限区深度H0所处岩层位置有i’=n–2种情况,需要对主动极限区深度H0每种情况i进行分析计算,后依次计算出相应对数螺旋线起始半径及起始半径间夹角。

    第1段螺旋线起始半径r0的计算公式如下:

    图1几何关系

    $$ ON = \frac{{{H^1}}}{{{\mathrm{sin}}\left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right)}} $$ (34)

    在△OMN

    $$ MN = {H^1}\left[ {{\mathrm{tan}}\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{{\varphi _1}}}{2}} \right) + {\mathrm{tan}}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{{{\varphi _1}}}{2}} \right)} \right] $$ (35)
    $$ M^{\prime} N^{\prime} = M N+ \sum_{l=2}^{i} \dfrac{H^{{{l}}}}{\tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{{{l}}}}{2}\right)} + \sum_{l=2}^{i} \dfrac{H^{{{l}}}}{\tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\varphi_{{{l}}}}{2}\right)} $$ (36)

    在△O′M′N′

    $$ \begin{array}{c} {O^\prime }{N^\prime } = {M^\prime }{N^\prime } \cdot \cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{{i}} + 1}}}}{2}} \right)= \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{H^\prime }\left[ {\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right) + \tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right)} \right]}+ \\ {\left. { \displaystyle\sum\limits_{l = 2}^i {\dfrac{{{H^{{l}}}}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{l}}}}}{2}} \right)}}} + \sum\limits_{l = 2}^i {\dfrac{{{H^{{l}}}}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _{{l}}}}}{2}} \right)}}} } \right]} \end{array}} \right. \times \\ \cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{{i}} + 1}}}}{2}} \right) \\ \end{array} $$ (37)
    $$ \begin{array}{c} {O^\prime }P = {O^\prime }{N^\prime } \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{{i}} + 1}}}}{2}} \right) = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{H^\prime }\left[ {\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right) + \tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right)} \right]} +\\ {\left. { \displaystyle\sum\limits_{l = 2}^i {\dfrac{{{H^{{l}}}}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{l}}}}}{2}} \right)}}} + \sum\limits_{l = 2}^i {\dfrac{{{H^{{l}}}}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _l}}}{2}} \right)}}} } \right]} \end{array}} \right. \times \\ \dfrac{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + {\varphi _{{{i}} + 1}}} \right)}}{2} \\ \end{array} $$ (38)
    $$ N^{\prime} A^{\prime}=x_{0}-\sum_{l=1}^{{{t}}} 2 H^{{{l}}} \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi_{{{l}}}}{2}\right) $$ (39)
    $$ N^{\prime} B=\dfrac{N^{\prime} A^{\prime}}{2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{{{i}}+1}}{2}\right)}=\dfrac{x_{0}-\displaystyle\sum_{i=1}^{t} 2 H^{\prime} \tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\varphi_{1}}{2}\right)}{2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{{{i}}+1}}{2}\right)} $$ (40)
    $$ {r_0} = O'N' + N'B $$ (41)

    将式(37)、式(40)代入式(41),r0

    $$ \begin{gathered} r_{0}=\left[\begin{gathered} H^{\prime}\left[\tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{1}}{2}\right)+\tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\varphi_{1}}{2}\right)\right]+ \\ \displaystyle\sum_{l=2}^{i} \dfrac{H^{{{l}}}}{\tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{{{l}}}}{2}\right)}+\displaystyle\sum_{l=2}^{i} \dfrac{H^{{{l}}}}{\tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\varphi_{{{l}}}}{2}\right)} \end{gathered}\right] \times \\ \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{{{i}}+1}}{2}\right)+\dfrac{x_{0}-\displaystyle\sum_{l=1}^{i} 2 H^{{{l}}} \tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\varphi_{{{l}}}}{2}\right)}{2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{{{i}}+1}}{2}\right)} \end{gathered} $$ (42)

    图1几何关系知G′E(h′)段最大值为

    $$ \begin{gathered} h_0^{\prime}=\frac{O^{\prime} P+H^{{{i}}+1}+H^{({{i}}+1)+1}+\cdots+H^{{{n}}-1}}{\sin \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{{{i}}+1}}{2}+\theta_1+\theta_2+\cdots+\theta_{{{n}}-{{i}}-1}\right)} \times \\ {\mathrm{e}}^{\left(\varphi_{{n}}+\tfrac{\pi}{4}-\tfrac{\varphi_{{{i}}+1}}{2}-\theta_1-\theta_2-\cdots-\theta_{{{n-i}}-1}\right) \tan\; {{n}}} \cos\; \varphi_{{n}} \end{gathered} $$ (43)

    式中:θn−i−1为对数螺旋线半径rn−i−2rn−i−1间夹角。

    最终得出$ \displaystyle\sum_{i=1}^{n-2} H^{{{i}}}< H_{0} \leqslant \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} H^{\prime} $情况下的多层结构底板最大滑移破坏深度h0

    $$ \begin{gathered} {h_0} = {h^\prime }_0 + \sum\limits_{i = 1}^{n - 2} {{H^{{i}}}} - {O^\prime }P = \\ \frac{{{O^\prime }P + {H^{{{i}} + 1}} + {H^{({{i}} + 1) + 1}} + \cdots + {H^{{{n}} - 1}}}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{{i }}+ 1}}}}{2} + {\theta _1} + {\theta _2} + \cdots + {\theta _{{{n}} -{{ i}} - 1}}} \right)}} \times \\ {{\mathrm{e}}^{ {\left({\varphi _{{n}}} + \tfrac{\pi }{4} - \tfrac{{{\varphi _{{{i}} + 1}}}}{2} { - {\theta _1} - {\theta _2} - \cdots - {\theta _{{{n - i}} - 1}}} \right)\tan \; {\varphi _{{n}}}} }}\cos\; {\varphi _{{n}}}+ \\[-6pt] \sum\limits_{i = 1}^{n - 2} {{H^{{i}}}} - {O^\prime }P \\ \end{gathered} $$ (44)

    在△O′G′E

    $$ \begin{gathered} {O^\prime }{G^\prime } = r\sin \;\alpha = \\ \frac{{{O^\prime }P + {H^{{{i }}+ 1}} + {H^{({{i}} + 1) + 1}} + \cdots + {H^{{{n}} - 1}}}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{{i}} + 1}}}}{2} + {\theta _1} + {\theta _2} + \cdots + {\theta _{{{n - i}} - 1}}} \right)}} \times \\ {{\mathrm{e}}^{ {\left({\varphi _{{n}}} + \tfrac{\pi }{4} - \tfrac{{{\varphi _{{{i }}+ 1}}}}{2} { - {\theta _1} - {\theta _2} - \cdots - {\theta _{{{{{n - i}} }}- 1}}} \right)\tan \;{\varphi _{{n}}}} }}\sin\; {\varphi _{{n}}} \\ \end{gathered} $$ (45)

    在△OFN′

    $$ F N^{\prime}=\sum_{1}^{i} H^{\prime} \cdot \tan \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\varphi_{{{i}}}}{2}\right) $$ (46)
    $$ PN' = O'P \cdot {\mathrm{tan}}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{{{\varphi _{{{i}} + 1}}}}{2}} \right) $$ (47)
    $$ \begin{gathered} P F=P N^{\prime}-F N^{\prime}= \\[-6pt] O^{\prime} P \cdot \tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\varphi_{{{i}}+1}}{2}\right)-\sum_{1}^{i} \tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\varphi_{{{i}}}}{2}\right) \end{gathered}$$ (48)

    图1几何关系有

    $$ OG = O'G' + PF $$ (49)

    将式(45)、式(48)代入式(49),知开采面至最大破坏深度水平距离OG

    $$ \begin{gathered} OG = \frac{{{O^\prime }P + {H^{{{i}} + 1}} + {H^{({{i}} + 1) + 1}} + \cdots + {H^{{{n }}- 1}}}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{{i }}+ 1}}}}{2} + {\theta _1} + {\theta _2} + \cdots + {\theta _{{{n - i}} - 1}}} \right)}} \times \\ {{\mathrm{e}}^{ {\left({\varphi _{{n}}} + \tfrac{\pi }{4} - \tfrac{{{\varphi _{{{i}} + 1}}}}{2} { - {\theta _1} - {\theta _2} - \cdots - {\theta _{{{n - i}} - 1}}} \right)\tan\; {\varphi _{{n}}}} }}\sin \;{\varphi _{{n}}} + \\ {O^\prime }P \cdot \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{{{\varphi _{{{i }}+ 1}}}}{2}} \right) - \sum\limits_1^i {\tan } \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{{{\varphi _{{i}}}}}{2}} \right) \\ \end{gathered} $$ (50)

    $ \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} H^{{{i}}}< H_{0} $,即主动极限区深度H0处于第n层岩体内,设过渡区滑移线由1段对数螺旋线组成,主动极限区、被动极限区分别为2条直线。

    第1段螺旋线起始半径r0由式(41)可知:

    $$ \begin{gathered} {r_0} = \left[ \begin{gathered} {H^\prime }\left[ {\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{\mathrm{1}}}}}{2}} \right) + \tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _{\mathrm{1}}}}}{2}} \right)} \right] + \\ \sum\limits_2^{n - 1} {\dfrac{{{{\mathrm{H}}^{{i}}}}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{i}}}}}{2}} \right)}}} + \sum\limits_2^{n - 1} {\dfrac{{{{\mathrm{H}}^{{i}}}}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _{{i}}}}}{2}} \right)}}} \\ \end{gathered} \right] \times \\ \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{{{i}}+1}}{2}\right)+\dfrac{x_0-\displaystyle\sum_1^{n-1} 2 H^{{i}} \tan \left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\varphi_{{l}}}{2}\right)}{2 \cos \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\varphi_{{{i}}+1}}{2}\right)} \end{gathered} $$ (51)

    图1几何关系知G′E(h′)段最大值为

    $$ \begin{gathered} {h_0}^\prime = r\cos \;\alpha = {r_0}{{\mathrm{e}}^{\theta \tan \;{\varphi _{{n}}}}}\cos \;\left( {\theta + \dfrac{{{\varphi _{{n}}}}}{2} - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \\ \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} {H^1}\left[ {\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right) + \tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right)} \right] + \\ \displaystyle\sum_{i = 2}^{n - 1} {\dfrac{{{H^{{i}}}}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{i}}}}}{2}} \right)}}} + \sum\limits_{i = 2}^{n - 1} {\dfrac{{{H^{{i}}}}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _{{i}}}}}{2}} \right)}}} \\ \end{gathered} \right] \\ \cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{{i }}+ 1}}}}{2}} \right) + \dfrac{{{x_0} - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} 2 {H^{{i}}}\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _{{i}}}}}{2}} \right)}}{{2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{{i }}+ 1}}}}{2}} \right)}} \\ \end{gathered} \right\}\times \\ {{\mathrm{e}}^{\left( {\tfrac{\pi }{4} + \tfrac{{{\varphi _{{n}}}}}{2}} \right)\tan\; {\varphi _{{n}}}}}\cos\; {\varphi _{{n}}}_{} \\ \end{gathered} $$ (52)

    最终得出$ \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} H^{{{i}}}< H_{0} $情况下的多层结构底板最大破坏深度h0

    $$ \begin{gathered} {h_0} = {h_0}^\prime + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{H^{{i}}}} - {O^\prime }P = \\ \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} {H^\prime }\left[ {\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right) + \tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right)} \right] + \\ \sum\limits_{i = 2}^{n - 1} {\dfrac{{{H^{{i}}}}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{i}}}}}{2}} \right)}}} + \sum\limits_{i = 2}^{n - 1} {\dfrac{{{H^{{i}}}}}{{\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _{{i}}}}}{2}} \right)}}} \\ \end{gathered} \right] \times \\ \cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{{i }}+ 1}}}}{2}} \right) + \dfrac{{{x_0} - \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} 2 {H^{{i}}}\tan \left( {\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{{{\varphi _{{i}}}}}{2}} \right)}}{{2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _{{{i }}+ 1}}}}{2}} \right)}} \\ \end{gathered} \right\}\times \\ {{\mathrm{e}}^{\left( {\tfrac{\pi }{4} + \tfrac{{{\varphi _{{n}}}}}{2}} \right)\tan \;{\varphi _{{n}}}}}\cos\; {\varphi _{{n}}} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{H^{{i}}}} - {O^\prime }P \\ \end{gathered} $$ (53)

    开采面至最大破坏深度水平距离OG

    $$ \begin{gathered}OG=\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}{H}^{1}\left[\mathrm{tan}\left(\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{{\varphi }_{1}}{2}\right)+\mathrm{tan}\left(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{{\varphi }_{1}}{2}\right)\right]+\\ {\displaystyle \sum _{i=2}^{n-1}\dfrac{{H}^{{{i}}}}{\mathrm{tan}\left(\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{{\varphi }_{{{i}}}}{2}\right)}}+{\displaystyle \sum _{i=2}^{n-1}\dfrac{{H}^{{{i}}}}{\mathrm{tan}\left(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{{\varphi }_{{{i}}}}{2}\right)}}\end{array}\right]\\ \mathrm{cos}\left(\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{{\varphi }_{{{i}}+1}}{2}\right)+\dfrac{{x}_{0}-{\displaystyle \sum _{i=1}^{n-1}2}{H}^{{{i}}}\mathrm{tan}\left(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{{\varphi }_{{{i}}}}{2}\right)}{2\mathrm{cos}\left(\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{{\varphi }_{{{i}}+1}}{2}\right)}\end{array}\right\}\text{×}\\ {{\mathrm{e}}}^{\left(\tfrac{\pi }{4}+\tfrac{{\varphi }_{{{n}}}}{2}\right)\mathrm{tan}\;{\varphi }_{{{n}}}}\mathrm{sin}\;{\varphi }_{{{n}}}+\\ {O}^{\prime }P\cdot \mathrm{tan}\left(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{{\varphi }_{{{i}}+1}}{2}\right)-{\displaystyle \sum _{1}^{i}\mathrm{tan}}\left(\dfrac{\pi }{4}-\dfrac{{\varphi }_{{{i}}}}{2}\right)\end{gathered} $$ (54)

    将各工况推导公式整理后利用主动极限区深度进行逻辑流程判别,后进行底板破坏深度及开采面至底板破坏深度水平距离的计算,如图3所示。

    图  3  多层 结构底板 破坏深度 逻辑流程 判别
    Figure  3.  Multi-storey structural substrate damage depth technical flow chart

    因煤岩开采面底板根据柱状进行分层时各岩层内摩擦角不同,采用塑性滑移线理论分析时会产生多条对数螺旋曲线半径。对对数螺旋曲线半径的求解采用工况2加以说明,其他工况对数螺旋曲线半径采用类似的求解方式,不再赘述。

    n=2,即假设底板层数为2层时,如图4所示,当滑移线主动极限区深度H0小于首层底板岩层厚度H′时,对数螺旋线将穿过上层底板岩层,此时O点将作为2段对数螺旋线的旋转中心点,r1同时作为第1段对数螺旋线的终线和第2段对数螺旋线的起点线。

    图  4  双层结构底板计算简图
    Figure  4.  Calculation sketch of double-storey structure base plate

    对数螺旋曲线起始半径r0图4几何关系知:

    $$ {r_0} = \dfrac{{{x_0}}}{{2\cos \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2}} \right)}} $$ (55)

    第2段对数螺旋线起始半径$ r_{1} $可由方程组(56)联立求解:

    $$ \left\{ \begin{gathered} {r_1} = \dfrac{{{H^1}}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2} + {\theta _1}} \right)}} \\ {r_1} = {r_0}{{\mathrm{e}}^{{\theta _1}\tan\;{\varphi _1}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (56)

    化简为

    $$ {H^1} = {r_0}{{\mathrm{e}}^{{\theta _1}{\mathrm{tan}}\;{\varphi _1}}} \cdot \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{{{\varphi _1}}}{2} + {\theta _1}} \right) $$ (57)

    对于式(57)中的未知数$ \theta_{1} $和工况2中式(9)的求解方法相同,采用泰勒展开求得近似解$ \theta_{1} $,最终可求得对数螺旋线起始半径$ r_{1} $。

    n=3,即假设底板层数为3层时,如图5所示,此时O点将作为3段对数螺旋线的旋转中心点。

    图  5  3层结构底板计算简图
    Figure  5.  Calculation sketch of three-story structure floor

    对数螺旋半径$ r_{1}, r_{2} $求解如下

    $$ \left\{ \begin{gathered} {r_1} = \dfrac{{{H^1}}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2} + {\theta _1}} \right)}} \\ {r_1} = {r_0}{{\mathrm{e}}^{{\theta _1}{\mathrm{tan}}\;{\varphi _1}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (58)
    $$ \left\{ \begin{gathered} {r_2} = \dfrac{{{H^1} + {H^2}}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2} + {\theta _1} + {\theta _2}} \right)}} \\ {r_2} = {r_1}{{\mathrm{e}}^{{\theta _2}{\mathrm{tan}}\;{\varphi _2}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (59)

    对$ r_{1}, r_{2} $求解方式与n=2时$ r_{1} $的求解方法相同,即通过泰勒展开式后进行一元四次方程求解,且$ r_{2} $求解需经过2次泰勒式转化分别求出$ \theta_{1} $、$ \theta_{2} $。

    n=4,即假设底板层数为4层时,如图6所示,此时O点将作为4段对数螺旋线的旋转中心点。

    图  6  4层结构底板计算简图
    Figure  6.  Sketch of four-story structural floor calculation

    对数螺旋半径$ r_{1}, r_{2}, r_{3} $用方程组(60)求解

    $$ \left\{ \begin{gathered} {r_1} = \dfrac{{{H^1}}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2} + {\theta _1}} \right)}} \\ {r_1} = {r_0}{{\mathrm{e}}^{{\theta _1}{\mathrm{tan}}\;{\varphi _1}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (60)
    $$ \left\{ \begin{gathered} {r_2} = \dfrac{{{H^1} + {H^2}}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2} + {\theta _1} + {\theta _2}} \right)}} \\ {r_2} = {r_1}{{\mathrm{e}}^{{\theta _2}{\mathrm{tan}}\;{\varphi _2}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (61)
    $$ \left\{ \begin{gathered} {r_3} = \frac{{{H^1} + {H^2} + {H^3}}}{{\sin \left( {\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{{\varphi _1}}}{2} + {\theta _1} + {\theta _2} + {\theta _3}} \right)}} \\ {r_3} = {r_2}{{\mathrm{e}}^{{\theta _3}{\mathrm{tan}}\;{\varphi _3}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (62)

    则对数螺旋半径$ r_{3} $求解需经过3次泰勒式转化求出近似解$ \theta_{1} $、$ \theta_{2} $和$ \theta_{3} $,且3个近似解误差在逐次累积。可以预见若底板层数持续增加,则对数螺旋曲线半径的求解需经过更多次泰勒式转化,其产生的累积误差会随之加大,导致其计算的破坏深度误差偏大,且计算量急剧加重,不易进行人工手算。因此考虑采用Matlab内置函数编程语言进行对数螺旋线半径求解,避免泰勒展开式产生的累积误差,并且计算结果精度不受多层结构底板层数的影响。

    多层结构底板破坏深度计算系统V1.0 (简称计算系统)主要采用Matlab语言中的math operations模块开发而成。Matlab是用于算法开发、数据可视化、数据分析及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境的商业数学软件,运用guide指令搭接的GUI界面主要控件见表1

    表  1  界面主要控件
    Table  1.  Interface main controls
    英文名称中文名称控件作用
    Button按钮控件在程序中显示按钮
    Entry输入控件用于显示简单的文本内容
    Label标签控件可以显示文本
    Text文本控件用于显示多行文本
    Toplevel容器控件用来提供一个单独对话框
    MessageBox对话框控件用于显示应用程序的消息框
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    使用Matlab内置函数计算多层结构底板破坏深度过程中,利用EXCEL计算部分已知参数的底板破坏深度及开采面至底板最大破坏深度水平距离的理论值,佐证Matlab编码的准确性及人为因素影响所计算出的软件值。

    if strcmp(f{i}, 'MaxDegree')

    v = sym(v);

    elseif strcmp(f{i}, 'ReturnConditions')

    f{i} = 'OutputType';

    if v == true

    v = evalin(symengine, '"FullMode"');

    else

    v = evalin(symengine, '"CompatibleMode"');

    end

    elseif v == true

    v = evalin(symengine, 'TRUE');

    else

    % v is false

    v = evalin(symengine, 'FALSE');

    end

    entries(i) = feval(symengine, '_equal', sym(f{i}), v);

    end

    entries(end) = evalin(symengine, 'VectorFormat = TRUE');

    entries = feval(symengine, 'op', entries);

    T = feval(symengine, 'table', entries);

    local function warnIfParams

    warn if the solution depends on parameters and conditions

    function warnIfParams(parameters, conditions)

    If isempty(parameters)

    paramstring = char(parameters(1));

    for i = 2:numel(parameters)

    paramstring = [paramstring ', ' char(parameters(i))]; %#ok

    end

    以上为多层结构底板破坏深度计算系统软件计算过程中的部分核心代码。

    表2中可以看到对于工况1由于不涉及泰勒展开式及方程组的求解其最终计算结果与Matlab软件计算结果相同。当底板层数分别为3层和7层时,对于工况4中的理论值 (利用EXCEL对多层结构底板破坏深度推导公式进行求解)和软件值结果误差也随之加大,其原因在于求解对数螺旋线半径时多次使用了泰勒展开式,且误差随结构底板岩层层数增加误差也随之累积,符合预期设想。

    表  2  多层结构底板破坏深度及开采面至破坏深度水平距离误差对比
    Table  2.  Comparison of damage depth and horizontal distance error from mining surface to damage depth of multi-layered structure floor
    输入参数 输出结果 工况
    h0 /m OG/m
    底板层数n 底板超前塑性破坏长度X0 /m 底板层厚Hi/m 内摩擦角φi /(°) 理论值 软件值 理论值 软件值
    1 7.9 25 37 16.318 16.2975 12.295 12.281 工况1
    2 7.9 5.5 39 16.59 16.5868 12.528 12.5088 工况5
    19.5 36
    3 9.2 6.8 30 16.74 16.0903 10.494 10.8452 工况4
    2.3 35
    10.4 36
    3 9.54 10 39 19.404 19.3943 14.103 14.0908 工况2
    3.6 35
    7.3 36
    7 22.7 4.3 39 44.351 42.8537 30.562 29.5707 工况4
    3 34
    5.1 38
    3.5 35
    6 30
    2.4 32
    21 33
    3 4.4 5 37 7.197 8.04518 5.026 5.0271 工况3
    0.6 33
    8.7 32
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    图7所示,将相应参数输入到输入框,点击“计算”按钮进行最终计算。如输入底板层数“3”,页面中会显示相应层数,后在列表中依次输入相应的底板层厚和内摩擦角;然后输入底板超前塑性破坏长度x0 (实测值为空,计算取理论值;实测值有实值情况,系统默认实测值)。如输入实测值“5.6”后,点击“计算”按钮,界面会显示该3层底板最大破坏深度和开采面至最大破坏深度的水平距离分别为10.557、7.012 m。

    图  7  多层结构底板破坏深度计算页面
    Figure  7.  Multi-storey structure bottom slab damage depth calculation page

    若现场因客观原因无法测得底板超前塑性破坏长度时,需计算底板超前塑形破坏长度的理论值,则可以分别输入H1(煤层的埋深,m);H2(煤层的采高,m);K(支撑压力峰值系数);θ(煤层的变形角,(°));φc(煤体的内摩擦角,(°));φc*(煤体的残余内摩擦角,(°));C1(煤层与顶底板接触面上的黏聚力,MPa);C2(煤体的黏聚力,MPa);C*(煤体的残余黏聚力,MPa);f1(煤层与顶板界面间的摩擦力,N);r(煤层覆盖的平均容重,N/m3)。如输入图8页面中的地质参数,可计算底板超前塑形破坏长度的理论值为18.697 m。

    图  8  底板超前塑性破坏长度理论值计算页面
    Figure  8.  Calculation page for theoretical values of overrunning plastic damage length of subgrade

    根据平煤某矿工作面底板岩体地质情况,工作面超前塑性区长度现场实测值为7.9 m。虽然下保护层层位与寒武系灰岩含水层之间有平均64 m厚的隔水层,在正常情况下隔水层可以阻隔承压水的侵入,但受开采扰动和寒武系高水头压力的影响,底板将形成扰动破坏带和承压水导升带,使得有效隔水层厚度减小,若遇大的断裂构造,承压水可通过隔水层较薄地带或构造破碎带进入工作面。参考周边矿井煤岩层工作面底板扰动破坏深度,取下保护层开采工作面底板岩层厚度H=25 m内的岩体底板进行最大破坏深度理论计算。

    在《深部煤岩层复合结构底板破坏机制及应用研究》[21]中李昂等针对此工程把相近岩性或岩层厚度较薄的岩层划分为1层,摩擦角取其平均值,岩层较厚且岩性差异较大时划分为另外层,分别进行单层、双层及三层底板最大破坏深度计算,并通过现场监测数据判断底板最大破坏深度为17.8 m。

    本章节将通过多层结构底板破坏深度计算系统V1.0软件对该理论值、拟合值与现场实测值进行对比分析,表3中可以看到1~3层结构底板软件计算值与理论值结果误差极小。

    表  3  数值计算结果对比
    Table  3.  Comparison of numerical calculation results
    底板层数n 底板超前塑性破坏长度X0/m 底板层厚Hi/m 内摩擦角φi/(°) 底板最大破坏深度h0/m
    理论值 软件值 拟合值 实测值
    1 7.9 25 37 16.3 16.298 18.12 17.9
    2 7.9 5.5 39 16.59 16.587
    19.5 36
    3 7.9 5.5 39 17.08 17.077
    7.2 34
    12.3 38
    5 7.9 4.6 36 17.33 17.761
    7.17 39
    6.58 35
    6.19 34
    2.29 39
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    因以往研究中以1~3层作为结构底板破坏深度分析计算,不足以应对复杂的底板岩层。因此将该开采工作面底板岩层厚度H=25 m内的岩体进行5层分析计算,依据柱状图(图9)把L8灰岩及厚度较小的煤线和砂质泥岩作为首层,厚度和为4.6 m,内摩擦角取该层位岩性平均内摩擦角36°;第2层以L7灰岩为主,层厚为7.17 m,内摩擦角39°;第3层由厚度较小的砂质泥岩、煤和泥岩构成,总厚度为6.58 m,平均内摩擦角为35°;第4层以厚度为6.19的黑灰色泥岩为主,内摩擦角34°;第5层是厚度为2.29 m的石灰岩,内摩擦角39°。将以上各参数输入到该计算系统,得到底板最大破坏深度软件值为17.761 m。从表3中可看到其软件值更接近现场实测值和拟合值,计算精度更高。虽然拟合值[23]和实测值相近,但拟合值往往取自不同矿井数据所得到的经验公式,当具体到实际工程时,可能得到较大的偏差。

    图  9  钻孔综合柱状图
    Figure  9.  Drill hole composite histogram

    李昂在《带压开采下底板渗流与应力耦合破坏突水机理及其工程应用》[12]中将董家河煤矿5号煤层22507工作面作为工程研究背景,相关力学岩性指标取值为:x0=5.7 m、H=350 m、φd=35°。计算出单层底板破坏深度为10.9 m,开采面至底板破坏深度水平距离为7.6 m,现场实测底板破坏深度结果为10.8 m。

    将该地质相关参数输入到计算系统软件中,如图10所示,可以看到底板破坏深度与开采面至底板破坏深度水平距离计算结果与该文中理论值相同,该软件的计算精度可达到98%。

    图  10  系统计算结果
    Figure  10.  System calculation results

    不同钻孔揭露的岩性存在差异性,岩层厚度、层数往往存在较大差异,导致底板采动破坏不同。开展现场测试过程中,往往钻取岩芯或者借助周边较近钻孔柱状。软件分析结果与现场实测数据进行对比分析,通过软件分析所得到的结果与实测值一致。不可否认,如果换作其他矿区进行现场实测,在岩性差别较大时计算结果也会有所不同。在许多矿井没有实测值或很难开展实测的情况下,该软件依据柱状和基本力学参数便可以计算底板破坏深度的取值,且可以代替繁琐的手工计算过程,优势是明显的。

    1)在3层复合结构底板塑性滑移线场力学模型基础上,推导出n层结构底板破坏深度解析解。利用手算进行底板最大破坏深度计算时部分工况计算过程需多次利用泰勒展开式转化为一元四次方程式。随着层数的增加,会逐次累积误差,且计算值只能取近似解。以主动极限区深度H0所处底板位置为判别依据,对多层结构底板计算工况进行了优化,提出5种计算工况,并形成了逻辑判别流程图。

    2)首次采用了Matlab内置函数运用编程语言进行多层结构底板破坏深度计算,其自带内置函数可避免手算过程中因泰勒式展开式多次利用而产生的累积误差。借助逻辑判别图开发了多层结构底板破坏深度计算系统V1.0软件,该软件通过输入相应参数可快速地计算出底板破坏深度及开采面至底板破坏深度的水平距离。

    3)通过将平煤某矿及董家河煤矿的岩性力学指标参数值代入该计算系统,得到该软件计算结果与理论值相一致。并将平煤某矿底板岩层进行五层计算分析,得到底板最大破坏深度理论值与实测结果偏差0.57 m,软件值与实测值相差0.14 m,即根据岩性层数划分越细致,计算精度更高。可以应对更加复杂的底板岩性。

    4)该软件具有普适性,所采用的理论是以不同实际柱状和力学参数为依据进行的分层计算,在矿井没有实测值或很难开展实测的情况下,仅仅根据柱状和基本力学参数便可以快捷准确地计算底板破坏深度的取值,且可以代替繁琐的手工计算过程,相比常规单一岩层塑性滑移线理论准确性更高。对研究我国华北型煤田煤岩层底板破坏规律具有重要的工程价值。

  • 图  1   n层结构底板破坏深度计算简图

    Figure  1.   Sketch of damage depth calculation of n-story structure floor

    图  2   极限状态下底板破坏深度计算简图

    Figure  2.   Sketch of damage depth calculation for bottom slab in limit condition

    图  3   多层 结构底板 破坏深度 逻辑流程 判别

    Figure  3.   Multi-storey structural substrate damage depth technical flow chart

    图  4   双层结构底板计算简图

    Figure  4.   Calculation sketch of double-storey structure base plate

    图  5   3层结构底板计算简图

    Figure  5.   Calculation sketch of three-story structure floor

    图  6   4层结构底板计算简图

    Figure  6.   Sketch of four-story structural floor calculation

    图  7   多层结构底板破坏深度计算页面

    Figure  7.   Multi-storey structure bottom slab damage depth calculation page

    图  8   底板超前塑性破坏长度理论值计算页面

    Figure  8.   Calculation page for theoretical values of overrunning plastic damage length of subgrade

    图  9   钻孔综合柱状图

    Figure  9.   Drill hole composite histogram

    图  10   系统计算结果

    Figure  10.   System calculation results

    表  1   界面主要控件

    Table  1   Interface main controls

    英文名称中文名称控件作用
    Button按钮控件在程序中显示按钮
    Entry输入控件用于显示简单的文本内容
    Label标签控件可以显示文本
    Text文本控件用于显示多行文本
    Toplevel容器控件用来提供一个单独对话框
    MessageBox对话框控件用于显示应用程序的消息框
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    表  2   多层结构底板破坏深度及开采面至破坏深度水平距离误差对比

    Table  2   Comparison of damage depth and horizontal distance error from mining surface to damage depth of multi-layered structure floor

    输入参数 输出结果 工况
    h0 /m OG/m
    底板层数n 底板超前塑性破坏长度X0 /m 底板层厚Hi/m 内摩擦角φi /(°) 理论值 软件值 理论值 软件值
    1 7.9 25 37 16.318 16.2975 12.295 12.281 工况1
    2 7.9 5.5 39 16.59 16.5868 12.528 12.5088 工况5
    19.5 36
    3 9.2 6.8 30 16.74 16.0903 10.494 10.8452 工况4
    2.3 35
    10.4 36
    3 9.54 10 39 19.404 19.3943 14.103 14.0908 工况2
    3.6 35
    7.3 36
    7 22.7 4.3 39 44.351 42.8537 30.562 29.5707 工况4
    3 34
    5.1 38
    3.5 35
    6 30
    2.4 32
    21 33
    3 4.4 5 37 7.197 8.04518 5.026 5.0271 工况3
    0.6 33
    8.7 32
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    表  3   数值计算结果对比

    Table  3   Comparison of numerical calculation results

    底板层数n 底板超前塑性破坏长度X0/m 底板层厚Hi/m 内摩擦角φi/(°) 底板最大破坏深度h0/m
    理论值 软件值 拟合值 实测值
    1 7.9 25 37 16.3 16.298 18.12 17.9
    2 7.9 5.5 39 16.59 16.587
    19.5 36
    3 7.9 5.5 39 17.08 17.077
    7.2 34
    12.3 38
    5 7.9 4.6 36 17.33 17.761
    7.17 39
    6.58 35
    6.19 34
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图(10)  /  表(3)
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出版历程
  • 收稿日期:  2023-10-19
  • 修回日期:  2023-10-19
  • 网络出版日期:  2025-05-28
  • 刊出日期:  2025-05-31

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